Gaussian dan Parabola untuk Mempelajari Fluks Bercahaya LED dari Lampu Eksperimental: 6 Langkah

2024 Pengarang: John Day | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-30 09:54

Halo untuk semua pembuat dan komunitas Instructable yang ramai.

Kali ini Merenel Research akan menghadirkan kepada Anda masalah penelitian murni dan cara menyelesaikannya dengan matematika.

Saya sendiri mengalami masalah ini saat menghitung fluks LED dari lampu LED RGB yang saya buat (dan yang akan saya ajarkan cara membuatnya). Setelah mencari secara online secara ekstensif, saya tidak menemukan jawaban, jadi di sini saya memposting solusinya.

MASALAH

Sangat sering dalam fisika kita harus berurusan dengan kurva yang memiliki bentuk distribusi Gaussian. Ya! Ini adalah kurva berbentuk lonceng yang digunakan untuk menghitung probabilitas dan dibawa kepada kita dari ahli matematika hebat Gauss.

Kurva Gauss banyak digunakan dalam aplikasi fisika kehidupan nyata, terutama ketika kita harus berurusan dengan radiasi yang disebarkan dari sumber atau diterima dari penerima, misalnya:

- emisi kekuatan sinyal radio (misalnya Wi-Fi);

- fluks bercahaya yang dipancarkan dari LED;

- pembacaan fotodioda.

Dalam lembar data pabrikan kita sering diberikan nilai sebenarnya dari luas Gaussian, yang akan menjadi daya pancaran total atau fluks bercahaya dalam bagian spektrum tertentu (misalnya LED), tetapi menjadi sulit untuk menghitung radiasi yang sebenarnya. dipancarkan pada puncak kurva atau bahkan lebih sulit untuk mengetahui radiasi tumpang tindih dari dua sumber yang dekat, misalnya jika kita menerangi lebih dari satu LED (misalnya Biru dan Hijau).

Dalam makalah Instructable ini saya akan menjelaskan cara mendekati Gaussian dengan cara kurva yang lebih mudah dipahami: parabola. Saya akan menjawab pertanyaan: berapa banyak kurva Gaussian dalam Parabola?

SPOILER → JAWABANNYA ADALAH:

Daerah Gaussian selalu 1 satuan.

Luas parabola yang bersesuaian dengan alas dan tinggi yang sama adalah 2,13 kali lebih besar dari luas relatif Gaussian (lihat gambar untuk demonstrasi grafis).

Jadi Gaussian adalah 46,94% dari parabolanya dan hubungan ini selalu benar.

Kedua angka ini terkait dengan cara ini 0,46948=1/2,13, ini adalah hubungan matematis yang ketat antara kurva Gaussian dan parabolanya dan sebaliknya.

Dalam panduan ini saya akan menuntun Anda untuk menemukan langkah demi langkah ini.

Satu-satunya instrumen yang kita perlukan adalah Geogebra.org, alat matematika online yang hebat untuk menggambar grafik.

Bagan Geogebra yang saya buat untuk membandingkan parabola dengan Gaussian dapat ditemukan di tautan ini.

Instruksi ini panjang karena tentang demonstrasi, tetapi jika Anda harus dengan cepat menyelesaikan masalah yang sama dengan fluks bercahaya LED, atau fenomena lain dengan kurva Gaussian yang tumpang tindih, silakan lompat ke spreadsheet yang akan Anda temukan terlampir di langkah 5 dari panduan ini, yang akan membuat hidup Anda lebih mudah dan secara otomatis membuat semua perhitungan untuk Anda.

Saya harap Anda menyukai matematika terapan karena instruksi ini adalah tentangnya.

Langkah 1: Memahami Cahaya yang Dipancarkan Dari LED Monokromatik

Dalam analisis ini saya akan mempertimbangkan serangkaian LED berwarna, seperti yang Anda lihat dengan jelas dari grafik spektrumnya (gambar pertama) distribusi daya spektralnya benar-benar terlihat seperti Gaussian yang menyatu ke sumbu x pada -33 dan +33nm rata-rata (produsen biasanya memberikan spesifikasi ini). Namun, pertimbangkan bahwa representasi bagan ini menormalkan semua spektrum pada satu unit daya, tetapi LED memiliki daya yang berbeda sesuai dengan seberapa efisien diproduksi dan berapa banyak arus listrik (mA) yang Anda masukkan ke dalamnya.

Seperti yang Anda lihat terkadang fluks bercahaya dari dua LED tumpang tindih pada spektrum. Katakanlah saya dengan mudah ingin menghitung luas tumpang tindih kurva itu, karena di daerah itu akan ada kekuatan ganda dan saya ingin tahu berapa banyak kekuatan dalam lumen (lm) yang kita miliki di sana, nah itu tidak tugas mudah yang akan kami coba jawab dalam panduan ini. Masalah muncul karena ketika saya sedang membangun lampu percobaan saya benar-benar ingin tahu berapa banyak spektrum Biru dan Hijau yang tumpang tindih.

Kami hanya akan fokus pada LED monokromatik yang memancarkan pada bagian spektrum yang sempit. Dalam grafik: BIRU ROYAL, BIRU, HIJAU, ORANGE-RED, RED. (Lampu sebenarnya yang saya buat adalah RGB)

LATAR BELAKANG FISIKA

Mari kita mundur sedikit dan melakukan sedikit penjelasan fisika pada awalnya.

Setiap LED memiliki warna, atau lebih ilmiah kita akan mengatakan bahwa memiliki panjang gelombang (λ) yang menentukan dan yang diukur dalam nanometer (nm) dan =1/f, di mana f adalah frekuensi osilasi foton.

Jadi apa yang kita sebut MERAH pada dasarnya adalah sekumpulan foton (hebat) yang berosilasi pada 630nm, foton tersebut mengenai materi dan memantul di mata kita, yang bertindak sebagai reseptor, dan kemudian otak Anda memproses warna objek sebagai MERAH; atau foton bisa langsung masuk ke mata Anda dan Anda akan melihat LED yang memancarkannya bersinar dalam warna MERAH.

Ditemukan bahwa apa yang kita sebut cahaya sebenarnya hanyalah sebagian kecil dari Spektrum Elektromagnetik, antara 380nm dan 740nm; jadi cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Yang menarik dari bagian spektrum itu adalah bahwa justru potongan spektrum itulah yang lebih mudah melewati air. Tebak apa? Nenek moyang kuno kita dari Sup Primordial di mana sebenarnya di dalam air, dan di dalam air di mana makhluk hidup pertama yang lebih kompleks mulai mengembangkan mata. Saya sarankan Anda untuk menonton video Kurzgesagt yang saya lampirkan untuk lebih memahami apa itu cahaya.

Ringkasnya, LED memancarkan cahaya, yang merupakan kuantitas tertentu dari daya radiometrik (mW) pada panjang gelombang tertentu (nm).

Biasanya, ketika kita berhadapan dengan cahaya tampak, kita tidak berbicara tentang daya radiometrik (mW) tetapi tentang fluks cahaya (lm), yang merupakan satuan ukuran yang ditimbang pada respons terhadap cahaya tampak mata manusia, ia diturunkan dari satuan ukuran candela, dan diukur dalam lumen (lm). Dalam presentasi ini kita akan mempertimbangkan lumen yang dipancarkan dari LED tetapi semuanya akan berlaku untuk mW pada tingkat yang sama.

Dalam lembar data LED apa pun, pabrikan akan memberi Anda sedikit informasi ini:

Misalnya dari lembar data yang dilampirkan ini, Anda melihat bahwa jika Anda menyalakan keduanya dengan 100mA, Anda memilikinya:

BIRU berada pada 480nm dan memiliki 11lm fluks bercahaya;

HIJAU berada pada 530nm dan memiliki fluks bercahaya 35lm.

Ini berarti bahwa Kurva Gaussian Biru akan lebih tinggi, akan melonjak lebih tinggi, tanpa mengubah lebarnya dan akan berosilasi di sekitar bagian yang dibatasi oleh garis biru. Dalam makalah ini saya akan menjelaskan bagaimana cara menghitung tinggi Gaussian yang menyatakan daya puncak penuh yang dipancarkan oleh LED, tidak hanya daya yang dipancarkan pada bagian spektrum tersebut, sayangnya nilai tersebut akan lebih rendah. Selanjutnya, saya akan mencoba untuk memperkirakan bagian yang tumpang tindih dari dua LED untuk memahami berapa banyak fluks bercahaya yang tumpang tindih ketika kita berhadapan dengan LED yang "tetangga" dalam spektrum.

Mengukur fluks LED adalah masalah yang sangat kompleks, jika Anda ingin tahu lebih banyak, saya telah mengunggah makalah terperinci oleh Osram yang menjelaskan bagaimana segala sesuatunya dilakukan.

Langkah 2: Pengantar Parabola

Saya tidak akan membahas banyak detail tentang apa itu parabola karena dipelajari secara ekstensif di sekolah.

Persamaan parabola dapat ditulis dalam bentuk berikut:

y=ax^2+bx+c

ARCHIMEDES MEMBANTU KITA

Yang ingin saya garis bawahi adalah teorema geometri penting dari Archimedes. Teorema tersebut menyatakan bahwa luas parabola yang dibatasi pada persegi panjang sama dengan 2/3 dari luas persegi panjang. Pada gambar pertama dengan parabola Anda dapat melihat bahwa area biru adalah 2/3 dan area merah muda adalah 1/3 dari luas persegi panjang.

Kita dapat menghitung parabola dan persamaannya dengan mengetahui tiga titik parabola. Dalam kasus kami, kami akan menghitung titik dan kami tahu persimpangan dengan sumbu x. Misalnya:

LED BIRU Vertex(480, ?) Y dari simpul sama dengan daya bercahaya yang dipancarkan pada panjang gelombang puncak. Untuk menghitungnya kita akan menggunakan hubungan yang ada antara area Gaussian (fluks aktual yang dipancarkan oleh LED) dan salah satu parabola dan kita akan menggunakan teorema Archimedes untuk mengetahui tinggi persegi panjang yang berisi parabola itu.

x1(447, 0)

x2(513, 0)

MODEL PARABOL

Melihat gambar yang telah saya unggah, Anda dapat melihat model kompleks untuk direpresentasikan dengan parabola beberapa fluks bercahaya LED yang berbeda, tetapi kita tahu bahwa representasinya tidak persis seperti itu karena lebih menyerupai Gaussian.

Namun, dengan parabola, dengan menggunakan rumus matematika, kita dapat menemukan semua titik perpotongan beberapa parabola dan menghitung luas yang berpotongan.

Pada langkah 5 saya telah melampirkan spreadsheet di mana saya telah meletakkan semua rumus untuk menghitung semua parabola dan area perpotongannya dari LED monokromatik.

Biasanya, basis Gaussian LED besar 66nm, jadi jika kita mengetahui panjang gelombang dominan dan kita memperkirakan radiasi LED dengan parabola, kita tahu bahwa parabola relatif akan memotong sumbu x di +33 dan -33.

Ini adalah model yang mendekati total cahaya yang dipancarkan LED dengan parabola. Tapi kita tahu bahwa jika kita ingin tepat itu tidak tepat, kita perlu menggunakan kurva Gauss, yang membawa kita ke langkah berikutnya.

Langkah 3: Pengantar Kurva Gaussian

Sebuah Gaussian itu adalah kurva yang akan terdengar lebih kompleks daripada parabola. Itu ditemukan oleh Gauss untuk menafsirkan kesalahan. Padahal, kurva ini sangat berguna untuk melihat distribusi probabilistik suatu fenomena. Sejauh kita bergerak ke kiri atau kanan dari mean, kita memiliki fenomena tertentu yang lebih jarang terjadi dan seperti yang Anda lihat dari gambar terakhir, kurva ini adalah perkiraan yang sangat baik dari kejadian kehidupan nyata.

Rumus Gaussian adalah yang menakutkan yang Anda lihat sebagai gambar kedua.

Sifat Gauss adalah:

- itu adalah hormat simetris terhadap mean;

- x = tidak hanya bertepatan dengan mean aritmatika tetapi juga dengan median dan modus;

- asimtotik pada sumbu x di setiap sisi;

- itu berkurang untuk xμ;

- memiliki dua titik belok di x = -σ;

- area di bawah kurva adalah 1 unit (probabilitas bahwa setiap x akan diverifikasi)

adalah simpangan baku, semakin besar angka semakin luas basis Gaussian (gambar pertama). Jika suatu nilai berada di bagian 3σ kita akan tahu bahwa itu benar-benar menjauh dari rata-rata dan kecil kemungkinannya untuk itu terjadi.

Dalam kasus kami, dengan LED, kami mengetahui area Gaussian yang merupakan fluks bercahaya yang diberikan dalam lembar data pabrikan pada puncak panjang gelombang tertentu (yang merupakan rata-rata).

Langkah 4: Demonstrasi Dengan Geogebra

Pada bagian ini saya akan memberi tahu Anda cara menggunakan Geogebra untuk menunjukkan bahwa parabola adalah 2,19 kali Gaussiannya.

Pertama Anda harus membuat beberapa variabel, klik pada perintah slider:

Standar deviasi =0,1 (standar deviasi mendefinisikan seberapa luas kurva Gauss, saya memberi nilai kecil karena saya ingin membuatnya sempit untuk mensimulasikan distribusi daya spektral LED)

Mean adalah 0 sehingga Gaussian dibangun pada sumbu y, di mana lebih mudah untuk bekerja.

Klik pada fungsi gelombang kecil untuk mengaktifkan bagian fungsi; di sana dengan mengklik fx Anda dapat memasukkan rumus Gaussian dan Anda akan melihat muncul di layar Kurva Gaussian tinggi yang bagus.

Secara grafis Anda akan melihat di mana kurva konvergen pada sumbu x, dalam kasus saya di X1(-0.4;0) dan X2(+0.4;0) dan di mana titik di V(0;4).

Dengan tiga titik ini Anda memiliki cukup info untuk menemukan persamaan parabola. Jika Anda tidak ingin membuat perhitungan dengan tangan, silakan gunakan situs web ini atau spreadsheet di langkah berikutnya.

Gunakan perintah fungsi (fx) untuk mengisi fungsi parabola yang baru saja Anda temukan:

y=-25x^2 +4

Sekarang kita harus memahami berapa banyak Gauss dalam parabola.

Anda harus menggunakan perintah fungsi dan memasukkan perintah Integral (atau Integrale dalam kasus saya, karena saya menggunakan versi Italia). Integral pasti adalah operasi matematika yang memungkinkan kita menghitung luas suatu fungsi yang didefinisikan antara hingga nilai x. Jika Anda tidak ingat apa itu integral tertentu, baca di sini.

a=Integral(f, -0.4, +0.4)

Rumus Geogebra ini akan menyelesaikan integral terdefinisi antara -0,4 dan +0,4 dari fungsi f, Gaussian. Karena kita berurusan dengan Gaussian, luasnya adalah 1.

Lakukan hal yang sama untuk parabola dan Anda akan menemukan angka ajaib 2.13. Yang merupakan nomor kunci untuk melakukan semua konversi fluks bercahaya dengan LED.

Langkah 5: Contoh Kehidupan Nyata Dengan LED: Menghitung Puncak Fluks dan Fluks yang Tumpang Tindih

FLUX BERCAHAYA DI PUNCAK

Untuk menghitung tinggi sebenarnya dari kurva Gaussian yang diaduk dari distribusi fluks LED, sekarang kita telah menemukan faktor konversi 2.19, sangat mudah.

Misalnya:

LED BIRU memiliki fluks bercahaya 11lm

- kita ubah fluks ini dari Gaussian ke parabola 11 x 2,19 = 24,09

- kita menggunakan Teorema Archimedes untuk menghitung luas persegi panjang relatif yang memuat parabola 24,09 x 3/2 = 36,14

- kami menemukan tinggi persegi panjang yang membagi untuk dasar Gaussian untuk LED BIRU, diberikan dalam lembar data atau terlihat pada bagan lembar data, biasanya sekitar 66nm, dan itulah kekuatan kami di puncak 480nm: 36.14 / 66= 0,55

DAERAH FLUX BERCAHAYA YANG TUMBUH

Untuk menghitung dua radiasi tumpang tindih saya akan menjelaskan dengan contoh dengan dua LED berikut:

BIRU pada 480nm dan memiliki 11lm fluks bercahayaHIJAU pada 530nm dan memiliki 35lm fluks bercahaya

Kita tahu dan kita melihat dari grafik bahwa kedua kurva Gaussian bertemu di -33nm dan +33nm, akibatnya kita tahu bahwa:

- BIRU memotong sumbu x dalam 447nm dan 531nm

- HIJAU memotong sumbu x dalam 497nm dan 563nm

Kita dengan jelas melihat bahwa dua kurva berpotongan sebagai salah satu ujung yang pertama setelah awal yang lain (531nm>497nm) sehingga cahaya dari dua LED ini tumpang tindih di beberapa titik.

Pertama-tama kita harus menghitung persamaan parabola untuk keduanya. Spreadsheet terlampir ada untuk membantu Anda dengan perhitungan, dan telah menyematkan rumus untuk menyelesaikan sistem persamaan untuk menentukan dua parabola yang mengetahui sumbu x titik berpotongan dan titik sudut:

parabola BIRU: y = -0,0004889636025x^2 + 0,4694050584x -112.1247327

Parabola HIJAU: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

dalam kedua kasus a>0 dan, sehingga parabola benar menunjuk terbalik.

Untuk membuktikan bahwa parabola ini benar, cukup isi a, b, c pada kalkulator titik di situs kalkulator parabola ini.

Pada spreadsheet, semua kalkulus telah dibuat untuk menemukan titik potong antara parabola dan menghitung integral tertentu untuk mendapatkan luas perpotongan parabola tersebut.

Dalam kasus kami, area berpotongan spektrum LED biru dan hijau adalah 0,4247.

Setelah kita memiliki parabola yang berpotongan, kita dapat mengalikan area perpotongan yang baru ditemukan ini untuk pengali Gaussian 0,4694 dan menemukan perkiraan yang sangat dekat tentang berapa banyak daya yang dipancarkan LED bersama-sama secara total di bagian spektrum itu. Untuk menemukan fluks LED tunggal yang dipancarkan di bagian itu cukup bagi dengan 2.

Langkah 6: Studi LED Monokromatik dari Lampu Eksperimental Sekarang Selesai

Nah, terima kasih banyak telah membaca penelitian ini. Saya harap ini akan berguna bagi Anda untuk memahami secara mendalam bagaimana cahaya dipancarkan dari lampu.

Saya sedang mempelajari fluks LED dari lampu khusus yang dibuat dengan tiga jenis LED monokromatik.

"Bahan" untuk membuat lampu ini adalah:

- 3 LED BLU

- 4 LED HIJAU

- 3 LED MERAH

- 3 resistor untuk membatasi arus di cabang rangkaian LED

- Catu daya 12V 35W

- Penutup Akrilik Timbul

- Kontrol OSRAM OT BLE DIM (unit kontrol LED Bluetooth)

- Heatsink aluminium

- M5 bolds dan mur dan kurung L

Kontrol semuanya dengan Aplikasi Casambi dari ponsel cerdas Anda, Anda dapat menyalakan dan meredupkan setiap saluran LED secara terpisah.

Untuk membuat lampu sangat sederhana:

- pasang LED ke heatsink dengan selotip dua sisi;

- solder semua LED BLU secara seri dengan resistor, dan lakukan hal yang sama dengan warna lain untuk setiap cabang rangkaian. Menurut LED yang akan Anda pilih (saya menggunakan Lumileds LED), Anda harus memilih ukuran resistor sehubungan dengan berapa banyak arus yang akan Anda masukkan ke dalam LED dan dengan total tegangan yang diberikan oleh catu daya 12V. Jika Anda tidak tahu bagaimana melakukan ini, saya sarankan Anda membaca instruksi hebat ini tentang cara menentukan ukuran resistor untuk membatasi arus serangkaian LED.

- sambungkan kabel ke setiap saluran Osram OT BLE: semua positif utama dari cabang LED menuju ke yang umum (+) dan tiga negatif dari cabang masing-masing menuju ke -B (biru) -G (hijau) -R (merah).

- Hubungkan catu daya ke input Osram OT BLE.

Sekarang yang keren dari Osram OT BLE adalah Anda dapat membuat skenario dan memprogram saluran LED, seperti yang Anda lihat di bagian pertama video saya meredupkan tiga saluran dan di bagian kedua video saya menggunakan beberapa skenario cahaya yang dibuat sebelumnya.

KESIMPULAN

Saya telah banyak menggunakan matematika untuk memahami secara mendalam bagaimana fluks lampu ini akan merambat.

Saya sangat berharap Anda telah mempelajari sesuatu yang berguna hari ini dan saya akan melakukan yang terbaik untuk membawa lebih banyak kasus penelitian terapan yang mendalam seperti ini.

Riset adalah kuncinya!

Begitu lama!

Pietro